鸽巢问题

用鸽巢原理解决“总有一个抽屉至少放几个”的问题。

在教材哪里

孩子这一课总错，问题常常在这些更早的知识点上。

用“物体数 ÷ 抽屉数”，有余数时商加 1。

如果把 n+1 个物体放入 n 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有 2 个物体。这是一种必然发生的逻辑。我们可以把这些物体看作‘鸽子’，抽屉看作‘巢’。当物体数量超过抽屉数量时，重复是必然的。这种原理不仅适用于物体分配，也适用于生日相同判定、姓氏判断等常见情境。

物体数比抽屉数多时，总有一个抽屉里至少放进 2 个物体

怎么做：首先确定什么是‘抽屉’，通常情况下，题目问什么（比如月份、花色、颜色），什么就是抽屉。

容易错在：

当物体的个数 m 比抽屉的个数 n 多得多时，我们可以用 m ÷ n = a …… b。这里 a 是商，b 是余数。鸽巢原理的结论就是：总有一个抽屉里至少有 a+1 个物体。注意，a+1 是针对有余数的情况；如果正好整除，那么至少数就是商 a。这种方法可以量化解决复杂的分配问题。

有余数时，总有一个抽屉至少有（商 + 1）个物体；整除时，总有一个抽屉至少有商那么多个物体。

怎么做：不管余数是几，只要余数不为0，统统只在商的基础上加1。

容易错在：

讲解内容来自开源项目“聪聪学堂”（MIT 许可），尚未经老师逐条审核，仅供参考。

从基础到提高各一道。哪一道卡住，就说明这一层还没学稳。

把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？
看答案
$2$ 支
1. $4 \div 3 = 1 \dots \dots 1$ 。
2. 先每个笔筒放 1 支，余下的 1 支不管放进哪个笔筒，总有一个笔筒至少有 $1 + 1 = 2$ （支）。
一个袋子里有蓝、黄、绿、白 4 种颜色的球各 8 个，这些球除颜色外完全相同。至少要摸出几个球，才能保证有 5 个球的颜色相同？
看答案
$17$ 个
1. 最不利的情况：每种颜色都先摸出 4 个，共 $4 \times 4 = 16$ （个），还没有 5 个同色。
2. 再摸 1 个，一定有 5 个同色： $16 + 1 = 17$ （个）。
至少要有多少名同学，才能保证其中至少有 5 名同学在同一个季节出生？
看答案
$17$ 名
1. 最不利的情况：4 个“抽屉”里每个都先有 4 名同学，共 $4 \times 4 = 16$ （名）。
2. 再多 1 名就能保证： $16 + 1 = 17$ （名）。

孩子做十几道题，知根顺着“学这个要先会什么”一层层往回查，告诉你最早没学会的是哪一册哪一课、先练什么。免费测一次，不用注册。